लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

3 x - 3 y - 6 z = 3

$3 x - 3 y - 6 z = 3$

2 x - 3 y - 5 z = 8

$2 x - 3 y - 5 z = 8$

x + 4 y + 2 z = 6

$x + 4 y + 2 z = 6$

चरण 1

सिस्टम को मैट्रिक्स के रूप में लिखें.

[\begin{array}{c} 3 & - 3 & - 6 & 3 \\ 2 & - 3 & - 5 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & - 6 & 3 \\ 2 & - 3 & - 5 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

चरण 2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

1, 1

$1, 1$ की प्रविष्टि को

1

$1$ बनाने के लिए

R_{1}

$R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

1, 1

$1, 1$ की प्रविष्टि को

1

$1$ बनाने के लिए

R_{1}

$R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{- 6}{3} & \frac{3}{3} \\ 2 & - 3 & - 5 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{- 6}{3} & \frac{3}{3} \\ 2 & - 3 & - 5 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

चरण 2.1.2

R_{1}

$R_{1}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 2 & - 3 & - 5 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 2 & - 3 & - 5 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 2 & - 3 & - 5 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 2 & - 3 & - 5 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

चरण 2.2

2, 1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

2, 1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot - 1 & - 5 - 2 \cdot - 2 & 8 - 2 \cdot 1 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot - 1 & - 5 - 2 \cdot - 2 & 8 - 2 \cdot 1 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

चरण 2.2.2

R_{2}

$R_{2}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

चरण 2.3

3, 1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

3, 1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 1 - 1 & 4 + 1 & 2 + 2 & 6 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 1 - 1 & 4 + 1 & 2 + 2 & 6 - 1 \end{array}]$

चरण 2.3.2

R_{3}

$R_{3}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]$

चरण 2.4

2, 2

$2, 2$ की प्रविष्टि को

1

$1$ बनाने के लिए

R_{2}

$R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

2, 2

$2, 2$ की प्रविष्टि को

1

$1$ बनाने के लिए

R_{2}

$R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 1 \cdot 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 1 \cdot 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]$

चरण 2.4.2

R_{2}

$R_{2}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \end{array}]$

चरण 2.5

3, 2

$3, 2$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

3, 2

$3, 2$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 4 - 5 \cdot 1 & 5 - 5 \cdot - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 4 - 5 \cdot 1 & 5 - 5 \cdot - 6 \end{array}]$

चरण 2.5.2

R_{3}

$R_{3}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & - 1 & 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & - 1 & 35 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & - 1 & 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & - 1 & 35 \end{array}]$

चरण 2.6

3, 3

$3, 3$ की प्रविष्टि को

1

$1$ बनाने के लिए

R_{3}

$R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

3, 3

$3, 3$ की प्रविष्टि को

1

$1$ बनाने के लिए

R_{3}

$R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 35 \end{array}]$

चरण 2.6.2

R_{3}

$R_{3}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

चरण 2.7

2, 3

$2, 3$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{2} = R_{2} - R_{3}

$R_{2} = R_{2} - R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

2, 3

$2, 3$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{2} = R_{2} - R_{3}

$R_{2} = R_{2} - R_{3}$ करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 6 + 35 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 6 + 35 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

चरण 2.7.2

R_{2}

$R_{2}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

चरण 2.8

1, 3

$1, 3$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

1, 3

$1, 3$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ करें.

[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot - 35 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot - 35 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

चरण 2.8.2

R_{1}

$R_{1}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & - 69 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & - 69 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & - 69 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & - 69 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

चरण 2.9

1, 2

$1, 2$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1

1, 2

$1, 2$ पर प्रविष्टि को

0

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ करें.

[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & - 69 + 1 \cdot 29 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & - 69 + 1 \cdot 29 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

चरण 2.9.2

R_{1}

$R_{1}$ को सरल करें.

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 40 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 40 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 40 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 40 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 40 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 40 \\ 0 & 1 & 0 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & - 35 \end{array}]$

चरण 3

समीकरणों के निकाय का अंतिम समाधान घोषित करने के लिए परिणाम मैट्रिक्स का उपयोग करें.

x = - 40

$x = - 40$

y = 29

$y = 29$

z = - 35

$z = - 35$

चरण 4

हल क्रमित युग्मों का सेट है जो तंत्र को सत्य बनाता है.

(- 40, 29, - 35)

$(- 40, 29, - 35)$